Capítulo 11 O POÇO QUÂNTICO DUPLO: 1-ELÉTRON, 2-POÇOS

11.1 Introdução

O artigo 2-Massas, 2-Poços; 2-Massas, 1-Poço; 2-Elétrons, 2-Poços; 2-Elétrons, 1-Poço analisa 4 situações de 2-partículas confinadas em poços quânticos.

Este capítulo analisa a situação de 1-elétron confinado em 2-poços quânticos. Na literatura, o sistema é conhecido como Double Quantum Well (DQW) — Poço Quântico Duplo. A estrutura é formada por 2-poços separados por 1-barreira delgada, o que permite o tunelamento do elétron através da barreira (Tetsuya Tada and al. 1988). Isso significa que há probabilidade do elétron ser encontrado no primeiro e também no segundo poço do DQW.

Um método – para se determinar a energia de confinamento e a função de onda de um DQW – é o método numérico (A. Keshavarz 2010).

Neste capítulo – a energia de confinamento e a função de onda – serão encontradas com base em resultados de equações transcendentais (Kamizato and Matsuura 1989). A técnica consiste em cruzar equações que levam em conta condições de continuidade da função de onda nas interfaces poço/barreira — o local do cruzamento pode ser determinado por meio de um gráfico.

11.2 O perfil do potencial

O poço quântico duplo (DQW) é formado por 2-poços retangulares separados por 1-barreira central. Neste artigo, os poços serão considerados com potencial negativo, V(x)=−V0$V\left(x\right)=-V_0$, e as barreiras laterais e central, com potencial igual a zero, V(x)=0$V\left(x\right)=0$. A Fig. 11.1 mostra o perfil de potencial e a nomenclatura adotada para designar cada peça do DQW.

Figura 11.1: Perfil de potencial do poço quântico duplo e nomenclatura das peças.

Olhando os cortes da Fig. 11.1, nota-se que (b,w)$(b,w)$ representam a largura de barreira central e largura de poço individual, respectivamente. Também, que há simetria em relação à origem das posições (x=0)$(x=0)$. Por isso, esse tipo de DQW é classificado como simétrico – é classificado como assimétrico quando os poços são diferentes, por exemplo, caso não possuam larguras ou profundidades iguais (J. Ram 2006).

11.3 As características da função de onda

O estudo se concentrará na energia de partícula menor que a altura de barreira e maior que o fundo de poço, ou seja, quando a energia do elétron estiver entre −V0<E<0$-V_0<E<0$.

Na região dos poços, o número de onda da peça de função de onda é real:

k=1ℏ√2m(E+V0),

e a solução da equação de Schrödinger resulta em exponencial complexa, do tipo e±ikx.

Na região das barreiras (central, barreira-1 e barreira-2), a combinação de potencial nulo com energia de partícula negativa produz número de onda imaginário:

kimg=1ℏ√2m(E−0),

sendo conveniente escrevê-lo na forma

kimg=iq,

onde

q=1ℏ√2m(0−E).

Então, na região das barreiras, a solução da equação de Schrödinger resulta em exponencial real, do tipo e±qx.

Em (11.1) e (11.4), as grandezas m e ℏ representam a massa do elétron e a constante de Planck, nesta ordem.

Explorar a simetria do DQW 11.1 poupa trabalho na hora de determinar a função de onda global, que se estende de −∞<x<∞, pois, é preciso se preocupar apenas com a determinação da função do lado direito do DQW, já que a função do lado esquerdo (x<0) é mais ou menos igual à função do lado direito (x>0):

Ψ(x<0)=±Ψ(x>0).

Na linguagem matemática, quando

Ψ(x<0)=+Ψ(x>0),

diz-se que a função é par (seu gráfico tem simetria em relação ao eixo vertical), e quando

Ψ(x<0)=−Ψ(x>0),

é dito que a função é ímpar (seu gráfico tem simetria em relação à origem).

Logo, as soluções do DQW 11.1 se dividem em 2-grupos: o conjunto de funções de onda pares e o conjunto de funções de onda ímpares.

Deve-se escolher peças de função de onda com o objetivo de simplificar a manipulação matemática. O capítulo 9 do livro Mecânica Quântica: Confinamento e Espalhamento por Potenciais Retangulares, que trata do poço quântico simples, iniciou a análise utilizando peças complexas, todavia, após alguns passos matemáticos, trasformou-se as peças complexas em peças reais (senos e cossenos). Neste artigo, vamos prontamente iniciar o estudo considerando soluções reais.

Qual solução poderá compor as peças dos poços?

Há propagação de ondas dentro dos poços, ondas que incidem e refletem na interface poço/barreira, então, poderia-se operar com uma combinação de exponenciais complexas, todavia, é mais conveniente usar uma combinação de seno e cosseno.

Qual solução poderá compor a peça da barreira central?

Não há propagação de ondas na barreira central, a solução é a soma de duas exponenciais reais: as que fariam a vez da “onda incidente” e da “onda refletida” – aqui cabe lembrar que a combinação de exponenciais reais resulta em cosseno hiperbólico ou seno hiperbólico.

Qual solução poderá compor as peças das barreiras laterais?

Também não há propagação de ondas nas barreiras laterais, a solução poderia ser do mesmo tipo da barreira central, a soma de duas exponenciais reais, todavia, as barreiras laterais se estendem até o infinito, por isso, a única exponencial que deve permanecer na solução, é aquela que tende a zero no infinito.

11.4 A equação da energia

Esta seção apresenta o procedimento que leva à equação capaz de fornecer os valores da energia de confinamento do elétron, uma equação cujas raizes podem ser determinadas com auxílio gráfico, denominada equação transcendental.

A notação que é utilizada para descrever as peças da função de onda global, está impressa na Fig. 11.1.

As ponderações feitas na seção [11.3] nos leva a concentrar o trabalho ao redor do poço-2.

Com o intuito de utilizar o padrão Latex, será utilizado sin para seno, cos para cosseno, tan para tangente, exp para exponencial, cosh para cosseno hiperbólico e sinh para seno hiperbólico.

A função de onda dentro do poço-2 é escrita como combinação de seno e cosseno:

P2(x)=Pcos[kx]+Qsin[kx],

onde P e Q são amplitudes e k é o número de onda (11.1).

A função de onda dentro da barreira-2 tem a forma de uma exponencial que decai em função do número de onda (11.4):

B2(x)=Dexp[−qx].

A função de onda deve ser contínua na interface poço/barreira, para isso, iguala-se (11.8) com (11.9) no ponto x=b/2+w:

Pcos[k(b/2+w)]+Qsin[k(b/2+w)]=Dexp[−q(b/2+w)].

A derivada da função de onda também deve ser contínua na interface poço/barreira, para isso, deriva-se as Eqs. (11.8) e (11.9)

P′2(x)=−kPsin[kx]+kQcos[kx],B′2(x)=−qDexp[−qx],

e, depois, iguala-se os resultados das derivadas no ponto x=b/2+w:

−Psin[k(b/2+w)]+Qcos[k(b/2+w)]=−qkDexp[−q(b/2+w)].

Divide-se a Eq. (11.13) pela Eq. (11.10):

−Psin[k(b/2+w)]+Qcos[k(b/2+w)]Pcos[k(b/2+w)]+Qsin[k(b/2+w)]=−qk.

Manipula-se a Eq. (11.14) até chegar no agrupamento dos senos e os cossenos:

−Qsin[k(b/2+w)][1−kqPQ]=Pcos[k(b/2+w)][1+kqQP].

Encerra-se a dedução utilizando a definição de tangente:

tan[k(b/2+w)]=−(P/Q)[1+(k/q)(Q/P)][1−(k/q)(P/Q)].

Que informação se torna pública por meio da equação transcendental (11.16)?

Disparando o gráfico da Eq. (11.16), a energia de confinamento é determinada fixando atenção no cruzamento que a curva tangente faz com a curva da expressão do lado direito.

Das variáveis da Eq. (11.16), ainda resta saber a expressão de P/Q. Conforme discutido na seção [11.3], há uma expressão vinculada ao conjunto de funções de onda pares e outra vinculada ao conjunto de funções de onda ímpares.

11.5 P/Q (função par)

Esta seção determina a expressão de P/Q, vinculada à função de onda par. Para isso, analisa a continuidade da função de onda na interface poço-2/barreira-central: ponto x=b/2.

A função de onda dentro da barreira-central é descrita por um cosseno hiperbólico, já que cossenos hiperbólicos são funções pares:

Bc(x)=Bcosh[qx].

A derivada do cosseno hiperbólico resulta em seno hiperbólico

B′c(x)=qBsinh[qx].

A função de onda deve ser contínua na interface poço/barreira, para isso, iguala-se (11.8) com (11.17) no ponto x=b/2:

Pcos[k(b/2)]+Qsin[k(b/2)]=Bcosh[q(b/2)].

A derivada da função de onda também deve ser contínua na interface poço/barreira, para isso, no ponto x=b/2, iguala-se P′2(x) de (11.11) com B′c(x) de (11.18):

Psin[k(b/2)]−Qcos[k(b/2)]=−qkBsinh[q(b/2)].

Multiplicação da Eq. (11.19) por cos[k(b/2)]:

Pcos2[k(b/2)]+Qsin[k(b/2)]cos[k(b/2)]==Bcosh[q(b/2)]cos[k(b/2)].

Multiplicação da Eq. (11.20) por sin[k(b/2)]:

Psin2[k(b/2)]−Qcos[k(b/2)]sin[k(b/2)]==−qkBsinh[q(b/2)]sin[k(b/2)].

Lembrando que cos2+sin2=1, soma das Eqs. (11.21) e (11.22):

P=Bcosh[q(b/2)]cos[k(b/2)]−qkBsinh[q(b/2)]sin[k(b/2)].

Agora, multiplicação da Eq. (11.19) por sin[k(b/2)], multiplicação da Eq. (11.20) por cos[k(b/2)], e soma dos resultados:

Q=Bcosh[q(b/2)]sin[k(b/2)]+qkBsinh[q(b/2)]cos[k(b/2)].

Por fim, a divisão de (11.23) por (11.24), resulta na expressão de P/Q (função par):

P/Q=(k/q)cosh[q(b/2)]cos[k(b/2)]−sinh[q(b/2)]sin[k(b/2)](k/q)cosh[q(b/2)]sin[k(b/2)]+sinh[q(b/2)]cos[k(b/2)].

11.6 ˉP/ˉQ (função ímpar)

Esta seção segue o procedimento da seção [11.5] — com algumas adaptações.

A função de onda de caráter ímpar será marcada com uma barra.

A função de onda dentro da barreira-central, agora, é ímpar, por isso, é representada por um seno hiperbólico, já que senos hiperbólicos são funções ímpares:

ˉBc(x)=ˉBsinh[qx],ˉB′c(x)=qˉBcosh[qx].

A função de onda dentro do poço-2 continua escrita como combinação de seno e cosseno:

ˉP2(x)=ˉPcos[kx]+ˉQsin[kx],ˉP′2(x)=−kˉPsin[kx]+kˉQcos[kx].

Semelhante ao que fizemos na seção anterior, é hora de aplicar as condições de continuidade no ponto x=b/2 e manipular os resultados. Com um pouco de trabalho, é fácil mostrar que ˉP/ˉQ (função ímpar) tem o aspecto:

ˉP/ˉQ=(k/q)sinh[q(b/2)]cos[k(b/2)]−cosh[q(b/2)]sin[k(b/2)](k/q)sinh[q(b/2)]sin[k(b/2)]+cosh[q(b/2)]cos[k(b/2)].

11.7 Determinação da energia de confinamento

A determinação da energia de confinamento do elétron no poço quântico duplo, lança mão da equação transcendental desenvolvida na seção [11.4] e das expressões deduzidas nas seções [11.5] e [11.6]. Vamos, então, agrupá-las nesta seção.

Ao trabalhar com função de onda par, deve-se usar:

tan[k(b/2+w)]=−(P/Q)[1+(k/q)(Q/P)][1−(k/q)(P/Q)],

P/Q=(k/q)cosh[q(b/2)]cos[k(b/2)]−sinh[q(b/2)]sin[k(b/2)](k/q)cosh[q(b/2)]sin[k(b/2)]+sinh[q(b/2)]cos[k(b/2)].

E, com função de onda ímpar:

tan[k(b/2+w)]=−(ˉP/ˉQ)[1+(k/q)ˉQ/ˉP][1−(k/q)ˉP/ˉQ],

ˉP/ˉQ=(k/q)sinh[q(b/2)]cos[k(b/2)]−cosh[q(b/2)]sin[k(b/2)](k/q)sinh[q(b/2)]sin[k(b/2)]+cosh[q(b/2)]cos[k(b/2)].

O método requer varredura na energia do elétron, que é negativa, e está embutida nos números de onda:

k=1ℏ√2m(E+V0),

q=1ℏ√2m(0−E).

Como se vê na Fig. 11.1, para fitar toda série de energia de confinamento, a varredura deve conter os valores: −V0<E<0. Ao invés da inspeção ser realizada com números negativos, é preferível utilizar valores positivos. Para isso, pode-se parametrizar a energia:

E=(η−1)V0,

e fazer o parâmetro de energia percorrer os valores: 0<η<1.

11.7.1 Exemplo numérico

Vamos colocar números nas fórmulas!

Este exemplo considera um DQW de profundidade V0= 0,1 eV e estrutura 100-20-100 Å, quer dizer, de w= 100 Å e b= 20 Å. As curvas das Eqs. (11.31) e (11.33), que foram designadas curva par e curva ímpar, respectivamente, são apresentadas na Fig. 11.2.

Figura 11.2: Cruzamantos de equações transcendentais.

Os cruzamantos das equações transcendentais revelam os seguintes parâmetros de energia (adimensionais):

η1=0,0294  ←  curva par,η2=0,0300  ←  curva ˊımpar.

Os parâmetros (11.38) correspondem às seguintes energias de confinamento (meV):

E1=−97,06;E2=−97,00.

O nível de energia é definido como:

ϵ=E+V0.

Já que V0=100 meV, as energias (11.39) correspondem aos seguintes níveis de energia (meV):

ϵ1=2,94;ϵ2=3,00.

Os resultados indicam que o nível de energia do estado fundamental se origina da solução par e que o nível de energia do primeiro estado excitado vem da solução ímpar. A diferença de energia entre os níveis de energia (11.41) é (meV):

ϵ2−ϵ1=0,06.

11.8 O efeito da espessura da barreira

A energia de confinamento é sensível em relação à espessura da barreira-central, ao valor de b. A função de onda do lado esquerdo do DQW se conecta com a do lado direito, através da barreira-central, mas, se os poços estiverem muito afastados um do outro, a função de onda perde a conexão. Nesse caso, o efeito de tunelamento passa a ser desprezível, e o DQW se comporta como 2-poços simples, individuais. Por exemplo, para o DQW da seção [11.7.1], o efeito de espessura de barreira sobre os níveis de energia é apresentado na Fig. 11.3.

Figura 11.3: Efeito de espessura de barreira. A geometria e profundidade do DQW estão na própria figura.

O aumento da espessura da barreira faz os níveis do DQW (ϵ1,ϵ2) se aproximarem do patamar ϵ1 (100 Å): nível de energia do estado fundamental de um poço simples de largura 100 Å. O efeito do desacoplamento dos poços é nítido, por exemplo, quando a barreira atinge 50 Å de espessura. Nesse caso, o poço duplo (100-50-100 Å) se comporta como um poço simples (100 Å) afastado (e desacoplado) de outro poço simples (100 Å).

Por outro lado, barreiras delgadas (finas) intensificam a diferença entre os níveis do DQW, como se vê, no início da Fig. 11.3. No limite da barreira desaparecer (b→0), o DQW se comporta como um poço simples de largura 2w: O nível de energia ϵ1 tende ao nível de energia do estado fundamental de um poço simples de largura 200 Å, e o nível de energia ϵ2, avizinha-se do nível de energia do primeiro estado excitado desse mesmo poço simples.

O efeito de espessura de barreira é ilustrado na Fig. 11.4

Figura 11.4: Ilustração do efeito de espessura de barreira.

A Fig. 11.5 mostra que a diferença de energia entre os níveis de energia (ϵ2−ϵ1) do DQW da seção [11.7.1] cai exponencialmente em função da largura da barreira.

Figura 11.5: Comportamento da diferença de energia entre níveis de energia. A geometria e profundidade do DQW estão na própria figura.

11.9 A função de onda par

Distribuído pelas seções, há peças para a construção da função de onda de caráter par, que se estende de −∞<x<∞. Cabe, agora, organizar essas peças.

Antes de tudo, precisamos revestir a notação com o fato da energia ser quantizada. Faremos isso, adicionando n à notação:

kn=1ℏ√2m(En+V0),qn=1ℏ√2m(0−En),

Nesta seção, o rótulo n corre entre os números ímpares: n=1,3,5,…

O procedimento é bem simples: Para encontrar a função de onda do lado direto do DQW, divide-se as Eqs. (11.8), (11.9) e (11.17) pela quantidade Q:

P2(x)/Q=(P/Q)cos[knx]+sin[knx],B2(x)/Q=(D/Q)exp[−qnx],Bc(x)/Q=(B/Q)cosh[qnx],

sendo as relações de apoio:

P/Q=(kn/qn)cosh[qn(b/2)]cos[kn(b/2)]−sinh[qn(b/2)]sin[kn(b/2)](kn/qn)cosh[qn(b/2)]sin[kn(b/2)]+sinh[qn(b/2)]cos[kn(b/2)],D/Q={(P/Q)cos[kn(b/2+w)]+sin[kn(b/2+w)]}exp[qn(b/2+w)],B/Q=(P/Q)cos[kn(b/2)]+sin[kn(b/2)]cosh[qn(b/2)].

Agora, o lado esquerdo é o lado negativo (x<0). Vamos chamar os negativos de x− (e os positivos de x+). Então, para encontrar a função de onda do lado esquerdo do DQW, explora-se o fato deste caso de trabalho ser o caso par e, conforme (11.6), a função do lado esquerdo é igual à função do lado direito, logo:

P1(x−)/Q=P2(x+)/Q,B1(x−)/Q=B2(x+)/Q,Bc(x−)/Q=Bc(x+)/Q.

Por exemplo:

B1(−121)/Q=(D/Q)exp[−qn⋅121].

As peças (11.44) e (11.45) constroem a função de onda par em toda extenção do DQW. Mantendo a geometria e profundidade do DQW da seção [11.7.1], a Fig. 11.6 apresenta a função de onda do estado fundamental — nível de energia ϵ1= 2,94 meV.

Figura 11.6: Função de onda do estado fundamental. A geometria e profundidade do DQW estão na própria figura.

11.10 A função de onda ímpar

Deve-se lembrar que a notação do caso ímpar é marcada com uma barra. Também, que as posições do lado esquerdo e direiro são representadas por x− e x+, respectivamente.

Atenção na hora de utilizar os números de onda (11.43): Nesta seção, o rótulo n corre entre os números pares: n=2,4,6,…

Do lado direto do DQW:

ˉP2(x)/ˉQ=(ˉP/ˉQ)cos[knx]+sin[knx],ˉB2(x)/ˉQ=(ˉD/ˉQ)exp[−qnx],ˉBc(x)/ˉQ=(ˉB/ˉQ)sinh[qnx].

Agora, as relações de apoio são:

ˉP/ˉQ=(kn/qn)sinh[qn(b/2)]cos[kn(b/2)]−cosh[qn(b/2)]sin[kn(b/2)](kn/qn)sinh[qn(b/2)]sin[kn(b/2)]+cosh[qn(b/2)]cos[kn(b/2)],ˉD/ˉQ={(ˉP/ˉQ)cos[kn(b/2+w)]+sin[kn(b/2+w)]}exp[qn(b/2+w)],ˉB/ˉQ=(ˉP/ˉQ)cos[kn(b/2)]+sin[kn(b/2)]sinh[qn(b/2)].

E para encerrar, este caso de trabalho é o caso ímpar, segundo (11.7), a função do lado esquerdo é menos igual à função do lado direito:

ˉP1(x−)/ˉQ=−ˉP2(x+)/ˉQ,ˉB1(x−)/ˉQ=−ˉB2(x+)/ˉQ,ˉBc(x−)/ˉQ=−ˉBc(x+)/ˉQ.

Por exemplo:

ˉB1(−121)/ˉQ=−(ˉD/ˉQ)exp[−qn⋅121].

As peças (11.47) e (11.48) montam a função de onda ímpar em toda extenção do DQW. Mantendo a geometria e profundidade do DQW da seção [11.7.1], a Fig. 11.7 apresenta a função de onda do primeiro estado excitado — nível de energia ϵ2= 3,00 meV.

Figura 11.7: Função de onda do primeiro estado excitado. Ver geometria e profundidade do DQW na própria figura.

11.11 A função de onda normalizada

As seções [11.9] e [11.10] deixaram em aberto a quantidade Q. Pode-se dizer que as funções de onda apresentadas nas Figs. 11.6 e 11.7 não estão normalizadas.

O valor de Q é encontrado pelo processo de normalização de função de onda:

∫+∞−∞|Ψ(x)Q|2dx=1|Q|2.

Lembrando que Ψ(x)/Q representa uma função de onda não normalizada, a Eq. (11.50) nos leva a concluir que a área debaixo da curva da densidade de probabilidade não-normalizada é igual à quantidade 1/|Q|2.

O valor de Q está vinculado ao valor de uma área. Há vários softwares que podem calcular áreas de curvas. O método, aqui sugerido, faz uso desses softwares.

Desse modo, tomando as funções de onda das Figs. 11.6 e 11.7, as áreas de suas densidades de probabilidade possuem os valores impressos na Tabela 11.1.

Tabela 11.1: NORMALIZAÇÃO DE FUNÇÃO DE ONDA.

Função de onda	Área da densidade de probabilidade (m)	Valor de |Q|2 (m−1)
Par	1,142×10−8	8,757×107
Ímpar	1,137×10−8	8,797×107

Os valores da Tabela 11.1 são bem parecidos, isso porque as curvas das densidades de probabilidade são quase idênticas — ver a Fig. 11.8.

Figura 11.8: Densidade de probabilidade do estado fundamental e do primeiro estado excitado. As curvas estão normalizadas. DQW: Geometria e profundidade na própria figura.

11.12 Considerações finais

A primeira equação escrita no artigo, Eq. (11.1), estabeleceu o “público-alvo” que se queira atingir. Pode-se dizer que o “publico-alvo” é o elétron no vácuo. Isso é claro, já que a grandeza m, da Eq. (11.1), representa massa de repouso do elétron: m=9,11×10−31 kg. E onde está esse elétron? Não há matéria ao seu redor. O potencial 11.1 que confina o elétron é construído no vácuo.

Então está faltando algo nesse artigo: a matéria!

Poços quânticos não são construídos no vácuo. A indústria de semicondutores investe pesado no desenvolvimento de materiais semicondutores. Faça uma pesquisa sobre o tema. O resultado vai mostrar que são feitos montantes enormes de investimentos para se alcançar uma posição de destaque na indústria de componentes eletrônicos.

O elétron dentro de um material semicondutor se comporta como uma partícula de massa reduzida. Por exemplo, a massa efetiva do elétron no GaAs é 0,067×9,11×10−31 kg, ou seja, um valor 15 vezes menor que a massa do elétron no vácuo.

E como o fator massa reduzida afeta o valor da energia de confinamento?

Este será o tema do próximo capítulo, tendo como título:

Poço Quântico Duplo de Semicondutores.