Capítulo 11 O POÇO QUÂNTICO DUPLO: 1-ELÉTRON, 2-POÇOS

11.1 Introdução

O artigo 2-Massas, 2-Poços; 2-Massas, 1-Poço; 2-Elétrons, 2-Poços; 2-Elétrons, 1-Poço analisa 4 situações de 2-partículas confinadas em poços quânticos.

Este capítulo analisa a situação de 1-elétron confinado em 2-poços quânticos. Na literatura, o sistema é conhecido como Double Quantum Well (DQW) — Poço Quântico Duplo. A estrutura é formada por 2-poços separados por 1-barreira delgada, o que permite o tunelamento do elétron através da barreira (Tetsuya Tada and al. 1988). Isso significa que há probabilidade do elétron ser encontrado no primeiro e também no segundo poço do DQW.

Um método – para se determinar a energia de confinamento e a função de onda de um DQW – é o método numérico (A. Keshavarz 2010).

Neste capítulo – a energia de confinamento e a função de onda – serão encontradas com base em resultados de equações transcendentais (Kamizato and Matsuura 1989). A técnica consiste em cruzar equações que levam em conta condições de continuidade da função de onda nas interfaces poço/barreira — o local do cruzamento pode ser determinado por meio de um gráfico.

11.2 O perfil do potencial

O poço quântico duplo (DQW) é formado por 2-poços retangulares separados por 1-barreira central. Neste artigo, os poços serão considerados com potencial negativo, $V\left(x\right)=-V_0$, e as barreiras laterais e central, com potencial igual a zero, $V\left(x\right)=0$. A Fig. 11.1 mostra o perfil de potencial e a nomenclatura adotada para designar cada peça do DQW.

Figura 11.1: Perfil de potencial do poço quântico duplo e nomenclatura das peças.

Olhando os cortes da Fig. 11.1, nota-se que $(b,w)$ representam a largura de barreira central e largura de poço individual, respectivamente. Também, que há simetria em relação à origem das posições $(x=0)$. Por isso, esse tipo de DQW é classificado como simétrico – é classificado como assimétrico quando os poços são diferentes, por exemplo, caso não possuam larguras ou profundidades iguais (J. Ram 2006).

11.3 As características da função de onda

O estudo se concentrará na energia de partícula menor que a altura de barreira e maior que o fundo de poço, ou seja, quando a energia do elétron estiver entre $-V_0<E<0$.

Na região dos poços, o número de onda da peça de função de onda é real:

$$\begin{array}{}k=\frac{1}{\hslash }\sqrt{2m(E+V_0)},& \text{(11.1)}\end{array}$$

e a solução da equação de Schrödinger resulta em exponencial complexa, do tipo $e^{\pm ikx}$.

Na região das barreiras (central, barreira-1 e barreira-2), a combinação de potencial nulo com energia de partícula negativa produz número de onda imaginário:

$$\begin{array}{}{k}^{img}=\frac{1}{\hslash }\sqrt{2m(E-0)},& \text{(11.2)}\end{array}$$

sendo conveniente escrevê-lo na forma

$$\begin{array}{}{k}^{img}=iq,& \text{(11.3)}\end{array}$$

onde

$$\begin{array}{}q=\frac{1}{\hslash }\sqrt{2m(0-E)}.& \text{(11.4)}\end{array}$$

Então, na região das barreiras, a solução da equação de Schrödinger resulta em exponencial real, do tipo $e^{\pm qx}$.

Em (11.1) e (11.4), as grandezas $m$ e $\hslash$ representam a massa do elétron e a constante de Planck, nesta ordem.

Explorar a simetria do DQW 11.1 poupa trabalho na hora de determinar a função de onda global, que se estende de $-\infty <x<\infty$, pois, é preciso se preocupar apenas com a determinação da função do lado direito do DQW, já que a função do lado esquerdo $(x<0)$ é mais ou menos igual à função do lado direito $(x>0)$:

$$\begin{array}{}\Psi (x<0)=\pm \Psi (x>0).& \text{(11.5)}\end{array}$$

Na linguagem matemática, quando

$$\begin{array}{}\Psi (x<0)=+\Psi (x>0),& \text{(11.6)}\end{array}$$

diz-se que a função é par (seu gráfico tem simetria em relação ao eixo vertical), e quando

$$\begin{array}{}\Psi (x<0)=-\Psi (x>0),& \text{(11.7)}\end{array}$$

é dito que a função é ímpar (seu gráfico tem simetria em relação à origem).

Logo, as soluções do DQW 11.1 se dividem em 2-grupos: o conjunto de funções de onda pares e o conjunto de funções de onda ímpares.

Deve-se escolher peças de função de onda com o objetivo de simplificar a manipulação matemática. O capítulo 9 do livro Mecânica Quântica: Confinamento e Espalhamento por Potenciais Retangulares, que trata do poço quântico simples, iniciou a análise utilizando peças complexas, todavia, após alguns passos matemáticos, trasformou-se as peças complexas em peças reais (senos e cossenos). Neste artigo, vamos prontamente iniciar o estudo considerando soluções reais.

Qual solução poderá compor as peças dos poços?

Há propagação de ondas dentro dos poços, ondas que incidem e refletem na interface poço/barreira, então, poderia-se operar com uma combinação de exponenciais complexas, todavia, é mais conveniente usar uma combinação de seno e cosseno.

Qual solução poderá compor a peça da barreira central?

Não há propagação de ondas na barreira central, a solução é a soma de duas exponenciais reais: as que fariam a vez da “onda incidente” e da “onda refletida” – aqui cabe lembrar que a combinação de exponenciais reais resulta em cosseno hiperbólico ou seno hiperbólico.

Qual solução poderá compor as peças das barreiras laterais?

Também não há propagação de ondas nas barreiras laterais, a solução poderia ser do mesmo tipo da barreira central, a soma de duas exponenciais reais, todavia, as barreiras laterais se estendem até o infinito, por isso, a única exponencial que deve permanecer na solução, é aquela que tende a zero no infinito.

11.4 A equação da energia

Esta seção apresenta o procedimento que leva à equação capaz de fornecer os valores da energia de confinamento do elétron, uma equação cujas raizes podem ser determinadas com auxílio gráfico, denominada equação transcendental.

A notação que é utilizada para descrever as peças da função de onda global, está impressa na Fig. 11.1.

As ponderações feitas na seção [11.3] nos leva a concentrar o trabalho ao redor do poço-2.

Com o intuito de utilizar o padrão Latex, será utilizado sin para seno, cos para cosseno, tan para tangente, exp para exponencial, cosh para cosseno hiperbólico e sinh para seno hiperbólico.

A função de onda dentro do poço-2 é escrita como combinação de seno e cosseno:

$$\begin{array}{}{P}_2\left(x\right)=P\cos \left[kx\right]+Q\sin \left[kx\right],& \text{(11.8)}\end{array}$$

onde $P$ e $Q$ são amplitudes e $k$ é o número de onda (11.1).

A função de onda dentro da barreira-2 tem a forma de uma exponencial que decai em função do número de onda (11.4):

$$\begin{array}{}{B}_2\left(x\right)=D\exp [-qx].& \text{(11.9)}\end{array}$$

A função de onda deve ser contínua na interface poço/barreira, para isso, iguala-se (11.8) com (11.9) no ponto $x=b/2+w$:

$$\begin{array}{}P\cos \left[k\right(b/2+w\left)\right]+Q\sin \left[k\right(b/2+w\left)\right]=D\exp [-q(b/2+w\left)\right].& \text{(11.10)}\end{array}$$

A derivada da função de onda também deve ser contínua na interface poço/barreira, para isso, deriva-se as Eqs. (11.8) e (11.9)

$$\begin{array}{}{P}_2^{\prime }\left(x\right)& =-kP\sin \left[kx\right]+kQ\cos \left[kx\right],& B_2^{\prime }\left(x\right)& =-qD\exp [-qx],& \text{(11.11)}& \text{(11.12)}\end{array}$$

e, depois, iguala-se os resultados das derivadas no ponto $x=b/2+w$:

$$\begin{array}{}-P\sin \left[k\right(b/2+w\left)\right]+Q\cos \left[k\right(b/2+w\left)\right]=-\frac{q}{k}D\exp [-q(b/2+w\left)\right].& \text{(11.13)}\end{array}$$

Divide-se a Eq. (11.13) pela Eq. (11.10):

$$\begin{array}{}\frac{-P\sin \left[k\right(b/2+w\left)\right]+Q\cos \left[k\right(b/2+w\left)\right]}{P\cos \left[k\right(b/2+w\left)\right]+Q\sin \left[k\right(b/2+w\left)\right]}=-\frac{q}{k}.& \text{(11.14)}\end{array}$$

Manipula-se a Eq. (11.14) até chegar no agrupamento dos senos e os cossenos:

$$\begin{array}{}-Q\sin \left[k\right(b/2+w\left)\right][1-\frac{k}{q}\frac{P}{Q}]=P\cos \left[k\right(b/2+w\left)\right][1+\frac{k}{q}\frac{Q}{P}].& \text{(11.15)}\end{array}$$

Encerra-se a dedução utilizando a definição de tangente:

$$\begin{array}{}\tan \left[k\right(b/2+w\left)\right]=-\left(P/Q\right)\frac{[1+(k/q\left)\right(Q/P\left)\right]}{[1-(k/q\left)\right(P/Q\left)\right]}.& \text{(11.16)}\end{array}$$

Que informação se torna pública por meio da equação transcendental (11.16)?

Disparando o gráfico da Eq. (11.16), a energia de confinamento é determinada fixando atenção no cruzamento que a curva tangente faz com a curva da expressão do lado direito.

Das variáveis da Eq. (11.16), ainda resta saber a expressão de $P/Q$. Conforme discutido na seção [11.3], há uma expressão vinculada ao conjunto de funções de onda pares e outra vinculada ao conjunto de funções de onda ímpares.

11.5 $P/Q$ (função par)

Esta seção determina a expressão de $P/Q$, vinculada à função de onda par. Para isso, analisa a continuidade da função de onda na interface poço-2/barreira-central: ponto $x=b/2$.

A função de onda dentro da barreira-central é descrita por um cosseno hiperbólico, já que cossenos hiperbólicos são funções pares:

$$\begin{array}{}{B}_c\left(x\right)=B\cosh \left[qx\right].& \text{(11.17)}\end{array}$$

A derivada do cosseno hiperbólico resulta em seno hiperbólico

$$\begin{array}{}{B}_c^{\prime }\left(x\right)=qB\sinh \left[qx\right].& \text{(11.18)}\end{array}$$

A função de onda deve ser contínua na interface poço/barreira, para isso, iguala-se (11.8) com (11.17) no ponto $x=b/2$:

$$\begin{array}{}P\cos \left[k\right(b/2\left)\right]+Q\sin \left[k\right(b/2\left)\right]=B\cosh \left[q\right(b/2\left)\right].& \text{(11.19)}\end{array}$$

A derivada da função de onda também deve ser contínua na interface poço/barreira, para isso, no ponto $x=b/2$, iguala-se $P_2^{\prime }\left(x\right)$ de (11.11) com $B_c^{\prime }\left(x\right)$ de (11.18):

$$\begin{array}{}P\sin \left[k\right(b/2\left)\right]-Q\cos \left[k\right(b/2\left)\right]=-\frac{q}{k}B\sinh \left[q\right(b/2\left)\right].& \text{(11.20)}\end{array}$$

Multiplicação da Eq. (11.19) por $\cos \left[k\right(b/2\left)\right]$:

$$\begin{array}{}\begin{array}{cc}P{\cos }^2\left[k\right(b/2\left)\right]& +Q\sin \left[k\right(b/2\left)\right]\cos \left[k\right(b/2\left)\right]=\\ & =B\cosh \left[q\right(b/2\left)\right]\cos \left[k\right(b/2\left)\right].\end{array}& \text{(11.21)}\end{array}$$

Multiplicação da Eq. (11.20) por $\sin \left[k\right(b/2\left)\right]$:

$$\begin{array}{}\begin{array}{cc}P{\sin }^2\left[k\right(b/2\left)\right]& -Q\cos \left[k\right(b/2\left)\right]\sin \left[k\right(b/2\left)\right]=\\ & =-\frac{q}{k}B\sinh \left[q\right(b/2\left)\right]\sin \left[k\right(b/2\left)\right].\end{array}& \text{(11.22)}\end{array}$$

Lembrando que ${\cos }^2+{\sin }^2=1$, soma das Eqs. (11.21) e (11.22):

$$\begin{array}{}P=B\cosh \left[q\right(b/2\left)\right]\cos \left[k\right(b/2\left)\right]-\frac{q}{k}B\sinh \left[q\right(b/2\left)\right]\sin \left[k\right(b/2\left)\right].& \text{(11.23)}\end{array}$$

Agora, multiplicação da Eq. (11.19) por $\sin \left[k\right(b/2\left)\right]$, multiplicação da Eq. (11.20) por $\cos \left[k\right(b/2\left)\right]$, e soma dos resultados:

$$\begin{array}{}Q=B\cosh \left[q\right(b/2\left)\right]\sin \left[k\right(b/2\left)\right]+\frac{q}{k}B\sinh \left[q\right(b/2\left)\right]\cos \left[k\right(b/2\left)\right].& \text{(11.24)}\end{array}$$

Por fim, a divisão de (11.23) por (11.24), resulta na expressão de $P/Q$ (função par):

$$\begin{array}{}P/Q=\frac{\left(k/q\right)\cosh \left[q\right(b/2\left)\right]\cos \left[k\right(b/2\left)\right]-\sinh \left[q\right(b/2\left)\right]\sin \left[k\right(b/2\left)\right]}{\left(k/q\right)\cosh \left[q\right(b/2\left)\right]\sin \left[k\right(b/2\left)\right]+\sinh \left[q\right(b/2\left)\right]\cos \left[k\right(b/2\left)\right]}.& \text{(11.25)}\end{array}$$

11.6 $\overline{P}/\overline{Q}$ (função ímpar)

Esta seção segue o procedimento da seção [11.5] — com algumas adaptações.

A função de onda de caráter ímpar será marcada com uma barra.

A função de onda dentro da barreira-central, agora, é ímpar, por isso, é representada por um seno hiperbólico, já que senos hiperbólicos são funções ímpares:

$$\begin{array}{}{\overline{B}}_c\left(x\right)& =\overline{B}\sinh \left[qx\right],& {\overline{B}}_c^{\prime }\left(x\right)& =q\overline{B}\cosh \left[qx\right].& \text{(11.26)}& \text{(11.27)}\end{array}$$

A função de onda dentro do poço-2 continua escrita como combinação de seno e cosseno:

$$\begin{array}{}{\overline{P}}_2\left(x\right)& =\overline{P}\cos \left[kx\right]+\overline{Q}\sin \left[kx\right],& {\overline{P}}_2^{\prime }\left(x\right)& =-k\overline{P}\sin \left[kx\right]+k\overline{Q}\cos \left[kx\right].& \text{(11.28)}& \text{(11.29)}\end{array}$$

Semelhante ao que fizemos na seção anterior, é hora de aplicar as condições de continuidade no ponto $x=b/2$ e manipular os resultados. Com um pouco de trabalho, é fácil mostrar que $\overline{P}/\overline{Q}$ (função ímpar) tem o aspecto:

$$\begin{array}{}\overline{P}/\overline{Q}=\frac{\left(k/q\right)\sinh \left[q\right(b/2\left)\right]\cos \left[k\right(b/2\left)\right]-\cosh \left[q\right(b/2\left)\right]\sin \left[k\right(b/2\left)\right]}{\left(k/q\right)\sinh \left[q\right(b/2\left)\right]\sin \left[k\right(b/2\left)\right]+\cosh \left[q\right(b/2\left)\right]\cos \left[k\right(b/2\left)\right]}.& \text{(11.30)}\end{array}$$

11.7 Determinação da energia de confinamento

A determinação da energia de confinamento do elétron no poço quântico duplo, lança mão da equação transcendental desenvolvida na seção [11.4] e das expressões deduzidas nas seções [11.5] e [11.6]. Vamos, então, agrupá-las nesta seção.

Ao trabalhar com função de onda par, deve-se usar:

$$\begin{array}{}\tan \left[k\right(b/2+w\left)\right]=-\left(P/Q\right)\frac{[1+(k/q\left)\right(Q/P\left)\right]}{[1-(k/q\left)\right(P/Q\left)\right]},& \text{(11.31)}\end{array}$$

$$\begin{array}{}P/Q=\frac{\left(k/q\right)\cosh \left[q\right(b/2\left)\right]\cos \left[k\right(b/2\left)\right]-\sinh \left[q\right(b/2\left)\right]\sin \left[k\right(b/2\left)\right]}{\left(k/q\right)\cosh \left[q\right(b/2\left)\right]\sin \left[k\right(b/2\left)\right]+\sinh \left[q\right(b/2\left)\right]\cos \left[k\right(b/2\left)\right]}.& \text{(11.32)}\end{array}$$

E, com função de onda ímpar:

$$\begin{array}{}\tan \left[k\right(b/2+w\left)\right]=-\left(\overline{P}/\overline{Q}\right)\frac{[1+(k/q\left)\overline{Q}/\overline{P}\right]}{[1-(k/q\left)\overline{P}/\overline{Q}\right]},& \text{(11.33)}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\overline{P}/\overline{Q}=\frac{\left(k/q\right)\sinh \left[q\right(b/2\left)\right]\cos \left[k\right(b/2\left)\right]-\cosh \left[q\right(b/2\left)\right]\sin \left[k\right(b/2\left)\right]}{\left(k/q\right)\sinh \left[q\right(b/2\left)\right]\sin \left[k\right(b/2\left)\right]+\cosh \left[q\right(b/2\left)\right]\cos \left[k\right(b/2\left)\right]}.& \text{(11.34)}\end{array}$$

O método requer varredura na energia do elétron, que é negativa, e está embutida nos números de onda:

$$\begin{array}{}k=\frac{1}{\hslash }\sqrt{2m(E+V_0)},& \text{(11.35)}\end{array}$$

$$\begin{array}{}q=\frac{1}{\hslash }\sqrt{2m(0-E)}.& \text{(11.36)}\end{array}$$

Como se vê na Fig. 11.1, para fitar toda série de energia de confinamento, a varredura deve conter os valores: $-V_0<E<0$. Ao invés da inspeção ser realizada com números negativos, é preferível utilizar valores positivos. Para isso, pode-se parametrizar a energia:

$$\begin{array}{}E=(\eta -1)V_0,& \text{(11.37)}\end{array}$$

e fazer o parâmetro de energia percorrer os valores: $0<\eta <1$.

11.7.1 Exemplo numérico

Vamos colocar números nas fórmulas!

Este exemplo considera um DQW de profundidade $V_0=$ 0,1 eV e estrutura 100-20-100 Å, quer dizer, de $w=$ 100 Å e $b=$ 20 Å. As curvas das Eqs. (11.31) e (11.33), que foram designadas curva par e curva ímpar, respectivamente, são apresentadas na Fig. 11.2.

Figura 11.2: Cruzamantos de equações transcendentais.

Os cruzamantos das equações transcendentais revelam os seguintes parâmetros de energia (adimensionais):

$$\begin{array}{}\begin{array}{cc}{\eta }_1& =0,0294\leftarrow curvapar,\\ {\eta }_2& =0,0300\leftarrow curva\acute{ı}mpar.\end{array}& \text{(11.38)}\end{array}$$

Os parâmetros (11.38) correspondem às seguintes energias de confinamento (meV):

$$\begin{array}{}\begin{array}{cc}{E}_1& =-97,06;\\ E_2& =-97,00.\end{array}& \text{(11.39)}\end{array}$$

O nível de energia é definido como:

$$\begin{array}{}ϵ=E+V_0.& \text{(11.40)}\end{array}$$

Já que $V_0=100$ meV, as energias (11.39) correspondem aos seguintes níveis de energia (meV):

$$\begin{array}{}\begin{array}{cc}{ϵ}_1& =2,94;\\ {ϵ}_2& =3,00.\end{array}& \text{(11.41)}\end{array}$$

Os resultados indicam que o nível de energia do estado fundamental se origina da solução par e que o nível de energia do primeiro estado excitado vem da solução ímpar. A diferença de energia entre os níveis de energia (11.41) é (meV):

$$\begin{array}{}{ϵ}_2-{ϵ}_1=0,06.& \text{(11.42)}\end{array}$$

11.8 O efeito da espessura da barreira

A energia de confinamento é sensível em relação à espessura da barreira-central, ao valor de $b$. A função de onda do lado esquerdo do DQW se conecta com a do lado direito, através da barreira-central, mas, se os poços estiverem muito afastados um do outro, a função de onda perde a conexão. Nesse caso, o efeito de tunelamento passa a ser desprezível, e o DQW se comporta como 2-poços simples, individuais. Por exemplo, para o DQW da seção [11.7.1], o efeito de espessura de barreira sobre os níveis de energia é apresentado na Fig. 11.3.

Figura 11.3: Efeito de espessura de barreira. A geometria e profundidade do DQW estão na própria figura.

O aumento da espessura da barreira faz os níveis do DQW $({ϵ}_1,{ϵ}_2)$ se aproximarem do patamar ${ϵ}_1$ (100 Å): nível de energia do estado fundamental de um poço simples de largura 100 Å. O efeito do desacoplamento dos poços é nítido, por exemplo, quando a barreira atinge 50 Å de espessura. Nesse caso, o poço duplo (100-50-100 Å) se comporta como um poço simples (100 Å) afastado (e desacoplado) de outro poço simples (100 Å).

Por outro lado, barreiras delgadas (finas) intensificam a diferença entre os níveis do DQW, como se vê, no início da Fig. 11.3. No limite da barreira desaparecer ($b\to 0$), o DQW se comporta como um poço simples de largura $2w$: O nível de energia ${ϵ}_1$ tende ao nível de energia do estado fundamental de um poço simples de largura 200 Å, e o nível de energia ${ϵ}_2$, avizinha-se do nível de energia do primeiro estado excitado desse mesmo poço simples.

O efeito de espessura de barreira é ilustrado na Fig. 11.4

Figura 11.4: Ilustração do efeito de espessura de barreira.

A Fig. 11.5 mostra que a diferença de energia entre os níveis de energia $({ϵ}_2-{ϵ}_1)$ do DQW da seção [11.7.1] cai exponencialmente em função da largura da barreira.

Figura 11.5: Comportamento da diferença de energia entre níveis de energia. A geometria e profundidade do DQW estão na própria figura.

11.9 A função de onda par

Distribuído pelas seções, há peças para a construção da função de onda de caráter par, que se estende de $-\infty <x<\infty$. Cabe, agora, organizar essas peças.

Antes de tudo, precisamos revestir a notação com o fato da energia ser quantizada. Faremos isso, adicionando $n$ à notação:

$$\begin{array}{}\begin{array}{cc}{k}_n& =\frac{1}{\hslash }\sqrt{2m(E_n+V_0)},\\ q_n& =\frac{1}{\hslash }\sqrt{2m(0-E_n)},\end{array}& \text{(11.43)}\end{array}$$

Nesta seção, o rótulo $n$ corre entre os números ímpares: $n=1,3,5,\dots$

O procedimento é bem simples: Para encontrar a função de onda do lado direto do DQW, divide-se as Eqs. (11.8), (11.9) e (11.17) pela quantidade $Q$:

$$\begin{array}{}\begin{array}{cc}{P}_2\left(x\right)/Q& =\left(P/Q\right)\cos \left[k_{n}x\right]+\sin \left[k_{n}x\right],\\ B_2\left(x\right)/Q& =\left(D/Q\right)\exp [-q_{n}x],\\ B_c\left(x\right)/Q& =\left(B/Q\right)\cosh \left[q_{n}x\right],\end{array}& \text{(11.44)}\end{array}$$

sendo as relações de apoio:

$$\begin{array}{cc}P/Q& =\frac{\left(k_n/q_n\right)\cosh \left[q_n\right(b/2\left)\right]\cos \left[k_n\right(b/2\left)\right]-\sinh \left[q_n\right(b/2\left)\right]\sin \left[k_n\right(b/2\left)\right]}{\left(k_n/q_n\right)\cosh \left[q_n\right(b/2\left)\right]\sin \left[k_n\right(b/2\left)\right]+\sinh \left[q_n\right(b/2\left)\right]\cos \left[k_n\right(b/2\left)\right]},\\ D/Q& =\left\{\right(P/Q\left)\cos \right[k_n(b/2+w)]+\sin [k_n(b/2+w)\left]\right\}\exp \left[q_n\right(b/2+w\left)\right],\\ B/Q& =\frac{\left(P/Q\right)\cos \left[k_n\right(b/2\left)\right]+\sin \left[k_n\right(b/2\left)\right]}{\cosh \left[q_n\right(b/2\left)\right]}.\end{array}$$

Agora, o lado esquerdo é o lado negativo $(x<0)$. Vamos chamar os negativos de $x_{-}$ (e os positivos de $x_{+}$). Então, para encontrar a função de onda do lado esquerdo do DQW, explora-se o fato deste caso de trabalho ser o caso par e, conforme (11.6), a função do lado esquerdo é igual à função do lado direito, logo:

$$\begin{array}{}\begin{array}{cc}{P}_1\left(x_{-}\right)/Q& =P_2\left(x_{+}\right)/Q,\\ B_1\left(x_{-}\right)/Q& =B_2\left(x_{+}\right)/Q,\\ B_c\left(x_{-}\right)/Q& =B_c\left(x_{+}\right)/Q.\end{array}& \text{(11.45)}\end{array}$$

Por exemplo:

$$\begin{array}{}{B}_1(-121)/Q=\left(D/Q\right)\exp [-q_n\cdot 121].& \text{(11.46)}\end{array}$$

As peças (11.44) e (11.45) constroem a função de onda par em toda extenção do DQW. Mantendo a geometria e profundidade do DQW da seção [11.7.1], a Fig. 11.6 apresenta a função de onda do estado fundamental — nível de energia ${ϵ}_1=$ 2,94 meV.

Figura 11.6: Função de onda do estado fundamental. A geometria e profundidade do DQW estão na própria figura.

11.10 A função de onda ímpar

Deve-se lembrar que a notação do caso ímpar é marcada com uma barra. Também, que as posições do lado esquerdo e direiro são representadas por $x_{-}$ e $x_{+}$, respectivamente.

Atenção na hora de utilizar os números de onda (11.43): Nesta seção, o rótulo $n$ corre entre os números pares: $n=2,4,6,\dots$

Do lado direto do DQW:

$$\begin{array}{}\begin{array}{cc}{\overline{P}}_2\left(x\right)/\overline{Q}& =\left(\overline{P}/\overline{Q}\right)\cos \left[k_{n}x\right]+\sin \left[k_{n}x\right],\\ {\overline{B}}_2\left(x\right)/\overline{Q}& =\left(\overline{D}/\overline{Q}\right)\exp [-q_{n}x],\\ {\overline{B}}_c\left(x\right)/\overline{Q}& =\left(\overline{B}/\overline{Q}\right)\sinh \left[q_{n}x\right].\end{array}& \text{(11.47)}\end{array}$$

Agora, as relações de apoio são:

$$\begin{array}{cc}\overline{P}/\overline{Q}& =\frac{\left(k_n/q_n\right)\sinh \left[q_n\right(b/2\left)\right]\cos \left[k_n\right(b/2\left)\right]-\cosh \left[q_n\right(b/2\left)\right]\sin \left[k_n\right(b/2\left)\right]}{\left(k_n/q_n\right)\sinh \left[q_n\right(b/2\left)\right]\sin \left[k_n\right(b/2\left)\right]+\cosh \left[q_n\right(b/2\left)\right]\cos \left[k_n\right(b/2\left)\right]},\\ \overline{D}/\overline{Q}& =\left\{\right(\overline{P}/\overline{Q}\left)\cos \right[k_n(b/2+w)]+\sin [k_n(b/2+w)\left]\right\}\exp \left[q_n\right(b/2+w\left)\right],\\ \overline{B}/\overline{Q}& =\frac{\left(\overline{P}/\overline{Q}\right)\cos \left[k_n\right(b/2\left)\right]+\sin \left[k_n\right(b/2\left)\right]}{\sinh \left[q_n\right(b/2\left)\right]}.\end{array}$$

E para encerrar, este caso de trabalho é o caso ímpar, segundo (11.7), a função do lado esquerdo é menos igual à função do lado direito:

$$\begin{array}{}\begin{array}{cc}{\overline{P}}_1\left(x_{-}\right)/\overline{Q}& =-{\overline{P}}_2\left(x_{+}\right)/\overline{Q},\\ {\overline{B}}_1\left(x_{-}\right)/\overline{Q}& =-{\overline{B}}_2\left(x_{+}\right)/\overline{Q},\\ {\overline{B}}_c\left(x_{-}\right)/\overline{Q}& =-{\overline{B}}_c\left(x_{+}\right)/\overline{Q}.\end{array}& \text{(11.48)}\end{array}$$

Por exemplo:

$$\begin{array}{}{\overline{B}}_1(-121)/\overline{Q}=-\left(\overline{D}/\overline{Q}\right)\exp [-q_n\cdot 121].& \text{(11.49)}\end{array}$$

As peças (11.47) e (11.48) montam a função de onda ímpar em toda extenção do DQW. Mantendo a geometria e profundidade do DQW da seção [11.7.1], a Fig. 11.7 apresenta a função de onda do primeiro estado excitado — nível de energia ${ϵ}_2=$ 3,00 meV.

Figura 11.7: Função de onda do primeiro estado excitado. Ver geometria e profundidade do DQW na própria figura.

11.11 A função de onda normalizada

As seções [11.9] e [11.10] deixaram em aberto a quantidade $Q$. Pode-se dizer que as funções de onda apresentadas nas Figs. 11.6 e 11.7 não estão normalizadas.

O valor de $Q$ é encontrado pelo processo de normalização de função de onda:

$$\begin{array}{}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\left|\frac{\Psi \left(x\right)}{Q}\right|}^{2}dx=\frac{1}{{\left|Q\right|}^2}.& \text{(11.50)}\end{array}$$

Lembrando que $\Psi \left(x\right)/Q$ representa uma função de onda não normalizada, a Eq. (11.50) nos leva a concluir que a área debaixo da curva da densidade de probabilidade não-normalizada é igual à quantidade $1/|Q{|}^2$.

O valor de $Q$ está vinculado ao valor de uma área. Há vários softwares que podem calcular áreas de curvas. O método, aqui sugerido, faz uso desses softwares.

Desse modo, tomando as funções de onda das Figs. 11.6 e 11.7, as áreas de suas densidades de probabilidade possuem os valores impressos na Tabela 11.1.

Tabela 11.1: NORMALIZAÇÃO DE FUNÇÃO DE ONDA.

Função de onda	Área da densidade de probabilidade (m)	Valor de $|Q{|}^2$ (m${}^{-1}$)
Par	$1,142\times {10}^{-8}$	$8,757\times {10}^7$
Ímpar	$1,137\times {10}^{-8}$	$8,797\times {10}^7$

Os valores da Tabela 11.1 são bem parecidos, isso porque as curvas das densidades de probabilidade são quase idênticas — ver a Fig. 11.8.

Figura 11.8: Densidade de probabilidade do estado fundamental e do primeiro estado excitado. As curvas estão normalizadas. DQW: Geometria e profundidade na própria figura.

11.12 Considerações finais

A primeira equação escrita no artigo, Eq. (11.1), estabeleceu o “público-alvo” que se queira atingir. Pode-se dizer que o “publico-alvo” é o elétron no vácuo. Isso é claro, já que a grandeza $m$, da Eq. (11.1), representa massa de repouso do elétron: $m=9,11\times {10}^{-31}$ kg. E onde está esse elétron? Não há matéria ao seu redor. O potencial 11.1 que confina o elétron é construído no vácuo.

Então está faltando algo nesse artigo: a matéria!

Poços quânticos não são construídos no vácuo. A indústria de semicondutores investe pesado no desenvolvimento de materiais semicondutores. Faça uma pesquisa sobre o tema. O resultado vai mostrar que são feitos montantes enormes de investimentos para se alcançar uma posição de destaque na indústria de componentes eletrônicos.

O elétron dentro de um material semicondutor se comporta como uma partícula de massa reduzida. Por exemplo, a massa efetiva do elétron no GaAs é $0,067\times 9,11\times {10}^{-31}$ kg, ou seja, um valor 15 vezes menor que a massa do elétron no vácuo.

E como o fator massa reduzida afeta o valor da energia de confinamento?

Este será o tema do próximo capítulo, tendo como título:

Poço Quântico Duplo de Semicondutores.