Capítulo 4 A PARTÍCULA DELOCALIZADA E A LOCALIZADA

4.1 Introdução

Antes de tratarmos o assunto-título deste capítulo, vamos nos familiarizar com a equação de autovalor de um operador e com o princípio da superposição de ondas. Depois, agregaremos essas novas informações com os conceitos de probabilidade e incertezas para descrevermos o comportamento da partícula quântica totalmente localizada no espaço e da totalmente delocalizada.

4.2 A equação de autovalor

Em mecânica quântica, as grandezas físicas sujeitas à medição estão associadas a operadores matemáticos. Os operadores, por sua vez, operam sobre funções matemáticas alvos, instruindo que sejam realizadas algumas operações matemáticas específicas sobre essas funções. Por exemplo, a grandeza posição está associada ao operador da posição $\hat{x}$, e a grandeza momento linear associa-se ao operador do momento linear $\hat{p}$. O operador $\hat{x}$, instrui que a função alvo seja multiplicada por $x$, enquanto que $\hat{p}$, instrui que realizemos a derivada da função alvo em relação à posição e, depois, multipliquemos o resultado por $-i\hslash$, em suma:

$$\begin{array}{}\hat{x}=x.& \text{(4.1)}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\hat{p}=-i\hslash \frac{d}{dx}.& \text{(4.2)}\end{array}$$

A medição de uma grandeza física, feita em certa experiência, resulta em uma quantidade numérica, mas vinculada à respectiva unidade da grandeza. Por exemplo, a medição da posição de uma partícula resulta em $x$ $\left(m\right)$; já a medição do momento em $\hslash k$ $\left(Js\cdot m^{-1}\right)$. Aqui, o número de onda angular $k$ está associado ao comprimento de onda $\lambda$, através da relação:

$$\begin{array}{}k=\frac{2\pi }{\lambda }.& \text{(4.3)}\end{array}$$

Na teoria quântica, os resultados da medição de uma grandeza física que está associada a um operador $\hat{A}$, são os autovalores $a$ que satisfazem a equação de autovalor:

$$\begin{array}{}\hat{A}{\psi }_a=a{\psi }_a.& \text{(4.4)}\end{array}$$

Então, os resultados da medição da posição de uma partícula são os autovalores $x$ $\left(m\right)$ que satisfazem a equação:

$$\begin{array}{}\hat{x}{\psi }_x=x{\psi }_x.& \text{(4.5)}\end{array}$$

Já os resultados da medição do momento da partícula são os autovalores $\hslash k$ $\left(Js\cdot m^{-1}\right)$ que tornam verdadeira a equação:

$$\begin{array}{}\hat{p}{\psi }_k=\hslash k{\psi }_k.& \text{(4.6)}\end{array}$$

Em (4.4), a solução ${\psi }_a$ é chamada autoestado de $\hat{A}$, que corresponde ao autovalor $a$. Então em (4.5), a solução ${\psi }_x$ é o autoestado de $\hat{x}$ correspondente ao autovalor $x$ $\left(m\right)$. Já em (4.6), a função ${\psi }_k$ é o autoestado de $\hat{p}$ correspondente ao autovalor $\hslash k$ $\left(Js\cdot m^{-1}\right)$.

Fica o desafio de resolvermos as equações (4.5) e (4.6)…

4.3 O princípio da superposição

Um operador $\hat{A}$ pode formar um conjunto discreto de autofunções e de autovalores, do tipo:

$$\begin{array}{}\hat{A}{\psi }_1=a_1{\psi }_1\hat{A}{\psi }_2=a_2{\psi }_2\hat{A}{\psi }_3=a_3{\psi }_3⋮& \text{(4.7)}\end{array}$$

A base discreta de autoestados $({\psi }_1,{\psi }_2,{\psi }_3,...)$, pode ser utilizada para decompor um estado quântico de uma partícula:

$$\begin{array}{}\begin{array}{cc}\Psi \left(x\right)& =b_1{\psi }_1\left(x\right)+b_2{\psi }_2\left(x\right)+b_3{\psi }_3\left(x\right)+...\\ & =\sum _i{b}_i{\psi }_i\left(x\right).\end{array}& \text{(4.8)}\end{array}$$

Dizemos, então, que $\Psi \left(x\right)$ é constituído por uma superposição linear dos autoestados de $\hat{A}$. Os coeficientes $b_i$ são números complexos. Se forem efetuadas medições da grandeza física associada ao $\hat{A}$, a quantidade real $b_i^{\ast }{b}_i$ será a probabilidade do autovalor $a_i$ ser o resultado dessa medição; também é a probabilidade do autoestado ${\psi }_i\left(x\right)$ ser o estado final dessa medição. A soma de todas as chances resulta em um, ou seja, ${\sum }_i|b_i{|}^2=1$.

Vamos encontrar a expressão do coeficiente $b_1$:

Primeiro, multiplicamos o $\Psi$, da equação (4.8), pelo complexo conjugado de ${\psi }_1$:

$$\begin{array}{}{\psi }_1^{\ast }\Psi =b_1{\psi }_1^{\ast }{\psi }_1+b_2{\psi }_1^{\ast }{\psi }_2+b_3{\psi }_1^{\ast }{\psi }_3+...& \text{(4.9)}\end{array}$$

Em seguida, efetuamos a integração da equação (4.9) em todo espaço das posições:

$$\begin{array}{}\begin{array}{cc}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\psi }_1^{\ast }\Psi dx& =b_1{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\psi }_1^{\ast }{\psi }_{1}dx+\\ & +b_2{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\psi }_1^{\ast }{\psi }_{2}dx+\\ & +b_3{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\psi }_1^{\ast }{\psi }_{3}dx+...\end{array}& \text{(4.10)}\end{array}$$

Neste ponto, precisamos lançar mão da ortogonalidade da base de autoestados:

$$\begin{array}{}\begin{array}{cc}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\psi }_1^{\ast }{\psi }_{1}dx& =1\\ {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\psi }_1^{\ast }{\psi }_{2}dx& =0\\ {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\psi }_1^{\ast }{\psi }_{3}dx& =0\\ ⋮& \end{array}& \text{(4.11)}\end{array}$$

Por fim, aplicando (4.11) em (4.10), o coeficiente $b_1$ resulta em:

$$\begin{array}{}{b}_1={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\psi }_1^{\ast }\left(x\right)\Psi \left(x\right)dx.& \text{(4.12)}\end{array}$$

Analogamente, a expressão de certo coeficiente $b_i$ segue (4.12):

$$\begin{array}{}{b}_i={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\psi }_i^{\ast }\left(x\right)\Psi \left(x\right)dx.& \text{(4.13)}\end{array}$$

Em (4.7), falamos de um operador que formar uma base discreta de autoestados, ${\psi }_i\left(x\right)$, com $i=1,2,3...$. Mas como proceder se certo operador formar uma base contínua de autoestados?

Vamos considerar o operador $\hat{U}$ formando uma base contínua de autoestados$,{\psi }_u\left(x\right)$, sendo $u$ um contínuo de reais, os autovalores desse operador. Seguindo o princípio da superposição em (4.8), a base contínua poderá ser utilizada para decompor um estado, mas, agora, ao invés de trabalharmos com somatórias, teremos que trabalhar com integrais:

$$\begin{array}{}\Psi \left(x\right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }b\left(u\right){\psi }_u\left(x\right)du.& \text{(4.14)}\end{array}$$

Também, fazendo comparação com o caso discreto, equação (4.13), o coeficiente da superposição será assim determinado:

$$\begin{array}{}b\left(u\right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\psi }_u^{\ast }\left(x\right)\Psi \left(x\right)dx.& \text{(4.15)}\end{array}$$

Agora, a quantidade $b^{\ast }\left(u\right)b\left(u\right)$ não será uma probabilidade genuína, mas terá significado de densidade de probabilidade. A probabilidade genuína será $|b\left(u\right){|}^{2}du$, interpretada como a probabilidade de um resultado do experimento estar entre os autovalores $u+du$. Desse modo, a probabilidade de um resultado do estar entre $u_1<u<u_2$, será:

$$\begin{array}{}Pr(u_1<u<u_2)={\int }_{u_1}^{u_2}|b\left(u\right){|}^{2}du.& \text{(4.16)}\end{array}$$

Lembrando da [ seção 1.2 ], podemos interpretar $b\left(u\right)$ como certa função de onda do espaço $u$, a qual gera certa densidade de probabilidade $|b\left(u\right)|$.

4.4 A delta de Dirac

Antes de avançarmos na física, estamos recordando um pouco da matemática. Já falamos da equação de autovalor [ seção 4.2 ] e do princípio da superposição [ seção 4.3 ]. Agora vamos recordar alguma coisa sobre a delta de Dirac, muito utilizada no desenvolvimento da teoria quântica.

A delta de Dirac, centrada em $x=\ell$, é definida como:

$$\begin{array}{}\begin{array}{ccc}\delta (x-\ell )& =\infty ,& sex=\ell ,\\ & =0,& sex\ne \ell .\end{array}& \text{(4.17)}\end{array}$$

A Fig. 4.1 ilustra o perfil da $\delta$-Dirac centrada em $x=25$; não é possível graficar o eixo $y$ até o infinito, como exige (4.17), por isso devemos encarar a figura apenas como uma ilustração.

Figura 4.1: Ilustração de uma delta de Dirac centrada em $x=25$.

A $\delta$-Dirac também pode ser representada no formato de integral de função exponencial:

$$\begin{array}{}\delta (k-g)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-i(k-g)x}dx{.}^{}& \text{(4.18)}\end{array}$$

Uma propriedade importante da $\delta$-Dirac é chamada de filtragem-delta. Se $F\left(x\right)$ for uma função contínua em torno da localização exata de uma delta de Dirac, então:

$$\begin{array}{}{\int }_{-\infty }^{+\infty }F\left(x\right)\delta (x-\ell )dx=F\left(\ell \right){.}^{}& \text{(4.19)}\end{array}$$

Como se vê em (4.19), a delta de Dirac “percorre os valores da função e filtra apenas aquele que corresponde à localização exata dela.”

4.5 A partícula totalmente delocalizada

Vamos trabalhar a equação de autovalor do operador do momento linear [ seção 4.2 ]:

$$\begin{array}{}\hat{p}{\psi }_k\left(x\right)=\hslash k{\psi }_k\left(x\right).& \text{(4.20)}\end{array}$$

Aplicando a instrução do operador do momento, ficamos com a seguinte equação diferencial:

$$\begin{array}{}-i\hslash \frac{d{\psi }_k\left(x\right)}{dx}=\hslash k{\psi }_k\left(x\right).& \text{(4.21)}\end{array}$$

O subscrito $k$ que aparece em (4.21), subendende que cada autoestado ${\psi }_k$ está associado a um autovalor $\hslash k$ $\left(Js\cdot m^{-1}\right)$, ademais, subentende que há um contínuo de autovalores $\hslash k$, ou seja, $-\infty <k<+\infty$.

A solução da equação (4.21) é trivial:

$$\begin{array}{}{\psi }_k\left(x\right)=C{e}^{ikx}.& \text{(4.22)}\end{array}$$

A constante $C$ deve ser encontrada pelo processo de normalização:

$$\begin{array}{}{\int }_{-\infty }^{+\infty }|{\psi }_k\left(x\right){|}^{2}dx={\int }_{-\infty }^{+\infty }|C{|}^{2}dx{.}^{}& \text{(4.23)}\end{array}$$

Mas a equação (4.23) produz um resultado divergente. Então vamos determinar $C$ analisando a integral (4.24), com o auxílio da delta de Dirac na forma exponencial [ seção 4.4 ]:

$$\begin{array}{}\begin{array}{cc}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\psi }_k^{\ast }\left(x\right){\psi }_g\left(x\right)dx& =|C{|}^2{\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-i(k-g)x}dx.\\ & =|C{|}^{2}2\pi \delta (k-g).\end{array}& \text{(4.24)}\end{array}$$

Justificamos a escolha $|C{|}^2={2\pi }^{-1}$ para a integral (4.24) valer um delta de Dirac. Finalmente temos (4.22) normalizada:

$$\begin{array}{}{\psi }_k\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{ikx}.& \text{(4.25)}\end{array}$$

Como dissemos, a quantidade de autoestados do momento é infinita, em (4.25), $k$ pode percorrer de $-\infty$ até $+\infty$. Vamos limitar nossa discussão a uma partícula preparada em um autoestado do momento, que chamaremos de estado ${\Psi }_D$, possuindo um único $k$, por exemplo, $k=g$:

$$\begin{array}{}{\Psi }_D\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{igx}{.}^{}& \text{(4.26)}\end{array}$$

A partir de (4.26), podemos determinar a densidade de probabilidade da posição:

$$\begin{array}{}|{\Psi }_D\left(x\right){|}^2=\frac{1}{2\pi }.& \text{(4.27)}\end{array}$$

Para toda posição $x$, a densidade de probabilidade (4.27) é constante. Isso quer dizer que a chance de a partícula ser encontrada em um intervalo infinitesimal em torno de $x={\ell }_1$, $|{\Psi }_D\left({\ell }_1\right){|}^{2}dx$, é a mesma de ser encontrada em um intervalo infinitesimal em torno de $x={\ell }_2$, $|{\Psi }_D\left({\ell }_2\right){|}^{2}dx$, e a assim por diante. A partícula $D$, (4.26), tem posição totalmente incerta, $\Delta x=\infty$. Dizemos que tal partícula está totalmente delocalizada – foi isso que motivou a escollha do subscrito $D$. Visto que $\Delta x=\infty$, temos $\Delta p=0$, pelo princípio da incerteza [ seção 2.1 ]. Isso quer dizer que medições do momento sempre resultarão numa mesma medida, o autovalor $\hslash g$ $\left(Js\cdot m^{-1}\right)$. Dizemos que a partícula está num estado de momento certo.

Portanto, o que concluímos desta seção é que a partícula $D$ possui momento certo e posição totalmente incerta.

4.6 A partícula totalmente localizada

Nosso objetivo agora é lidar com a equação de autovalor [ seção 4.2 ] do operador da posição [ $\hat{x}$ ]:

$$\begin{array}{}\hat{x}{\psi }_x\left(x\right)=x{\psi }_x\left(x\right).& \text{(4.28)}\end{array}$$

Exclarecimento sobre a notação: em (4.28), $x$ é coordenada ($x$), mas $x$ também é autovalor de $\hat{x}$. Para fazer distinção, $x$ continuará sendo coordenada ($x$), mas $\ell$ passará a fazer o papel de autovalor de $\hat{x}$. Com este exclarecimento, a equação (4.28) muda para a forma:

$$\begin{array}{}\hat{x}{\psi }_{\ell }\left(x\right)=\ell {\psi }_{\ell }\left(x\right).& \text{(4.29)}\end{array}$$

A solução da equação (4.29) pode ser deduzida a partir da filtragem-delta [ seção 4.4 ], pois:

$$\begin{array}{}F\left(x\right)\delta (x-\ell )=F\left(\ell \right)\delta (x-\ell ).& \text{(4.30)}\end{array}$$

No nosso caso $F\left(x\right)=x$, então, a equação (4.30) tem a forma:

$$\begin{array}{}x\delta (x-\ell )=\ell \delta (x-\ell ).& \text{(4.31)}\end{array}$$

Vejam a semelhança entre as equações (4.29) e (4.31). Por isso concluímos que ${\psi }_{\ell }$ é um delta de Dirac centrado em $x=\ell$, ou seja:

$$\begin{array}{}{\psi }_{\ell }\left(x\right)=\delta (x-\ell ){.}^{}& \text{(4.32)}\end{array}$$

O subscrito $\ell$ subentende um contínuo de autovalores, onde cada autovalor $\ell$ $\left(m\right)$ associa-se ao seu autoestado ${\psi }_{\ell }$.

Como acabamos de dizer, a quantidade de autoestados da posição é infinita, em (4.32), $\ell$ pode percorrer de $-\infty$ até $+\infty$. Vamos limitar nossa discussão a uma partícula preparada em um único autoestado da posição, possuindo um único autovalor $\ell$:

$$\begin{array}{}{\Psi }_L\left(x\right)=\delta (x-\ell ){.}^{}& \text{(4.33)}\end{array}$$

A partir de (4.33), podemos determinar a densidade de probabilidade da posição:

$$\begin{array}{}|{\Psi }_L\left(x\right){|}^2=|\delta (x-\ell ){|}^2{.}^{}& \text{(4.34)}\end{array}$$

Levando em conta a definição da delta de Dirac [ seção 4.4 ], a equação (4.34) produz dois resultados:

$$\begin{array}{}\begin{array}{ccc}|{\Psi }_L\left(x\right){|}^2& =\infty ,& sex={\ell }^{},\\ & =0,& sex\ne \ell .\end{array}& \text{(4.35)}\end{array}$$

Como se vê, não há chance da partícula $L$, (4.33), ser encontrada fora da posição $x=\ell$. Como era de se esperar, esta partícula só poderá ser achada em $x=\ell$. Dizemos que esta partícula está num estado de posição certa, totalmente localizada – aqui está o porquê do subscrito $L$. Sua incerteza na posição é zero, $\Delta x=0$. Visto que $\Delta x=0$, temos $\Delta p=\infty$, pelo princípio da incerteza [ seção 2.1 ]. Isso quer dizer que medições do momento poderão resultar em qualquer medida dentre os autovalores $-\infty <\hslash k<+\infty$.

Portanto, o que concluímos desta seção é que a partícula $L$ possui posição certa e momento totalmente incerto; ver o contraste com a partícula $D$ [ seção 4.5 ].

4.7 Mais sobre a partícula totalmente delocalizada

Na [ seção 4.5 ], batizamos a partícula totalmente delocalizada de partícula $D$:

$$\begin{array}{}{\Psi }_D\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{igx}{.}^{}& \text{(4.36)}\end{array}$$

Entendemos que sua densidade de probabilidade da posição é constante:

$$\begin{array}{}|{\Psi }_D\left(x\right){|}^2=\frac{1}{2\pi }{.}^{}& \text{(4.37)}\end{array}$$

Entendemos, também, que seu momento é único, $k=g$, mas que sua posição é totalmente incerta. Vamos explorar este fato. Por ter posição totalmente incerta, a partícula $D$ está numa superposição [ seção 4.3 ] de autoestados [ $\delta (x-\ell )$ ] do operador posição [ $\hat{x}$ ], simultaneamente centrada em todos autovalores $\ell$:

$$\begin{array}{}{\Psi }_D\left(x\right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{b}_D\left(\ell \right)\delta (x-\ell )d\ell {.}^{}& \text{(4.38)}\end{array}$$

Temos que $\hat{x}$ forma uma base contínua de autoestados. Foi mencionado na mesma [ seção 4.3 ], que para uma base contínua, o coeficiente da superposição pode ser assim determinado:

$$\begin{array}{}{b}_D\left(\ell \right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (x-\ell ){\Psi }_D\left(x\right)dx{.}^{}& \text{(4.39)}\end{array}$$

Substituindo (4.36) em (4.39), temos:

$$\begin{array}{}{b}_D\left(\ell \right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (x-\ell )e^{igx}dx.& \text{(4.40)}\end{array}$$

A integral (4.40) pode ser facilmente resolvida pela técnica da filtragem-delta [ seção 4.4 ], se percebemos que $F\left(x\right)=e^{igx}$:

$$\begin{array}{}{b}_D\left(\ell \right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{ig\ell }.& \text{(4.41)}\end{array}$$

Para qualquer $\ell$, $-\infty <\ell <+\infty$, a densidade de probabilidade gerada por (4.41) é constante:

$$\begin{array}{}|b_D\left(\ell \right){|}^2=\frac{1}{2\pi }{.}^{}& \text{(4.42)}\end{array}$$

Isso significa que a chance da partícula $D$ ser encontrada com autovalor ${\ell }_1$ é igual à chance de ser encontrada com autovalor ${\ell }_2$, e assim por diante.

Em (4.38), a partícula $D$ foi colocada na base do operador $\hat{x}$. E se ela fosse colocada na base operador $\hat{p}$? Os autoestados de $\hat{p}$ foram deduzidos na [ seção 4.5 ], com eles podemos escrever a superposição:

$$\begin{array}{}{\Psi }_D\left(x\right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{b}_D\left(k\right)\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{ikx}dk{.}^{}& \text{(4.43)}\end{array}$$

A base $\hat{p}$ também é contínua, logo:

$$\begin{array}{}{b}_D\left(k\right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-ikx}{\Psi }_D\left(x\right)dx{.}^{}& \text{(4.44)}\end{array}$$

Substituindo (4.36) em (4.44):

$$\begin{array}{}{b}_D\left(k\right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-ikx}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{igx}dx.& \text{(4.45)}\end{array}$$

Vamos deixar (4.45) com aparência de delta de Dirac:

$$\begin{array}{}{b}_D\left(k\right)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-i(k-g)x}dx.& \text{(4.46)}\end{array}$$

Não há dúvida que (4.46) é a delta de Dirac na forma exponencial [ seção 4.4 ], assim:

$$\begin{array}{}{b}_D\left(k\right)=\delta (k-g).& \text{(4.47)}\end{array}$$

Então, no espaço do momento, há dois resultados possíveis para a densidade de probabilidade:

$$\begin{array}{}\begin{array}{ccc}|b_D\left(k\right){|}^2& =\infty ,& sek=g^{},\\ & =0,& sek\ne g.\end{array}& \text{(4.48)}\end{array}$$

Como se vê, as chances da partícula $D$ ser encontrada com momento $k\ne g$ são nulas. Como era de se esperar, esta partícula $D$ possui um único momento, $k=g$.

As Figs. 4.2 e 4.3 apresentam as densidades de probabilidade do momento e da posição, respectivamente, os gráficos das equações (4.48) e (4.37), para a partícula partícula $D$ preparada com momento $\hslash k=50$ $\left(Js\cdot m^{-1}\right)$. Essas figuras reforçam a conclusão da [ seção 4.5 ]: a partícula $D$ possui momento certo e posição totalmente incerta.

Nota: para facilitar a visualização, fixamos $\hslash =1$ $\left(Js\right)$.

Figura 4.2: Partícula $D$ com momento $k=50$. A densidade de probabilidade do momento é delta de Dirac.

Figura 4.3: A mesma partícula $D$, com momento $k=50$. A densidade de probabilidade da posição é constante.

4.8 Mais sobre a partícula totalmente localizada

Chegou a hora de falarmos mais um pouco sobre a partícula totalmente localizada, batizada na [ seção 4.6 ] de partícula $L$. Por ser delta de Dirac, entendemos que sua densidade de probabilidade também tem características de $\delta$-Dirac:

$$\begin{array}{}\begin{array}{ccc}{\Psi }_L\left(x\right)& =\delta (x-\ell ).& \\ |{\Psi }_L\left(x\right){|}^2& =\infty ,& sex={\ell }^{},\\ & =0,& sex\ne \ell .\end{array}& \text{(4.49)}\end{array}$$

Apesar de sua posição ser certa, seu momento é totalmente incerto. Isso significa que a partícula $L$ está numa superposição de autoestados de $\hat{p}$, conforme a expressão:

$$\begin{array}{}{\Psi }_L\left(x\right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{b}_L\left(k\right)\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{ikx}dk.& \text{(4.50)}\end{array}$$

Onde o coeficiente da superposição é determinado por:

$$\begin{array}{}\begin{array}{cc}{b}_L\left(k\right)& ={\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-ikx}{\Psi }_L\left(x\right)dx;\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-ikx}\delta (x-\ell )dx.\end{array}& \text{(4.51)}\end{array}$$

A integral (4.51) pode ser facilmente resolvida pela técnica da filtragem-delta [ seção 4.4 ], se percebemos que $F\left(x\right)=e^{-ikx}$:

$$\begin{array}{}{b}_L\left(k\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-ik\ell }.& \text{(4.52)}\end{array}$$

Para qualquer $k$, $-\infty <k<+\infty$, a densidade de probabilidade gerada por (4.52) é constante:

$$\begin{array}{}|b_L\left(k\right){|}^2=\frac{1}{2\pi }.& \text{(4.53)}\end{array}$$

Isso significa que a chance da partícula $L$ ser encontrada com momento $k_1$ é igual à chance de se encontrada com momento $k_2$, e assim por diante.

As Figs. 4.4 e 4.5 apresentam as densidades de probabilidade da posição e do momento, respectivamente, os gráficos das equações (4.49) e (4.53), para a partícula partícula $L$ preparada na posição $x=50$ $\left(m\right)$. Já essas figuras reforçam a conclusão da [ seção 4.6 ]: a partícula $L$ possui posição certa e momento totalmente incerto.

Figura 4.4: Partícula $D$ na posição $x=50$. A densidade de probabilidade da posição é delta de Dirac.

Figura 4.5: A mesma partícula $D$, na posição $x=50$. A densidade de probabilidade do momento é constante.